低频Alfvén波^{[1, 2, 3, 4]}广泛存在于空间及聚变等离子体装置中，Alfvén波加热在聚变等离子体加热中起着重要的作用.通过一系列实验及观察结果发现：多频谱低频Alfvén湍流对重离子的拾取效应存在两个过程，非共振加热过程和随机加热过程^{[5, 6, 7, 8]}.大型等离子体装置的实验发现，当微波发射器进行同腔双支Alfvén波加热时,双波会进行调制，并产生低频非线性随机伪模，驱动离子声波^[9].Zhao等人对Alfvén波的理论研究表明多波调制过程的存在^[10]；王斌等人用试探粒子模拟的方式，采用单粒子模型计算了多支斜向传播的线性极化低频Alfvén波加热，发现加热过程中存在非共振加热及随机加热^{[11, 12]}；陆全明等人进行的粒子模拟表明，当波数增加或者波能密度增进时，低频Alfvén波由非共振加热进入随机加热，随机阈值会降低.另外，随机阈值降低的同时，出现频谱逐渐集中且连续的现象^{[13, 14]}.虞立敏对多支低频Alfvén波相干加热过程进行的理论研究证明低频Alfvén波存在多频谱相干加热；同时，相干加热的存在会提升加热效率^[15].

本文采用单粒子模型，通过粒子模拟方法模拟计算由单支波到多支左旋极化低频Alfvén波加热过程，验证整频比及分频比的多支低频Alfvén波相干加热理论，考察多波相干加热过程中的物理图像.

在低β(等离子体压强与磁压强比，β=0.01)时，意味着不考虑带电等离子体相互碰撞作用，离子只受背景磁场与Alfvén波电磁力的作用.Alfvén波沿背景磁场(B₀=B₀i_z)方向传播，二者都为z轴的正方向.波的色散关系为ω=kv_A，其中ω，k分别为Alfvén波的频率和波矢，v_A=B₀/(4πn₀m_i)^1/2为Alfvén波相速度，n₀、m_i分别是等离子体密度和离子质量.Alfvén波电场和磁场可表示为

式中±分别代表右旋与左旋圆极化Alfvén波，i_x、 i_y为x、 y方向的单位矢量，h表示的是第h支波，N为波的总数量，φ_h=k(v_At-z)+φ_h为波的相位，其中φ_h为第h支波的初相位， B_h为波的振幅.下面的模拟中，仅考虑左旋圆极化Alfvén波.离子在外加磁场与Alfvén波的电磁场中的运动方程为

其中q_i、 m_i分别为i类离子的电荷和质量,上式中的r为位置矢量.

我们采用粒子模拟方法，以质子作为试探粒子，初始时，216 000个质子均匀分布在长度为16v_AΩ_p^-1(Ω_p为质子回旋频率)的720个网格中，系统总长度为11 520.0v_AΩ_p^-1.质子速度满足麦克斯韦分布，热速度v_thp=0.1v_A，其中v_thp=$\sqrt {K{T_0}}/{m_{\rm{p}}}$，T₀是质子的初始温度，K为Boltzmann常数.进而求解质子的运动方程，时间步长为Δt=0.025Ω_p^-1.模型中仅考虑一维空间及三维速度方向，采用周期性边界条件.在加热过程中随时间的变化，动力学温度的计算公式为

其中，〈·〉表明对单个网格里的粒子求平均，最后再对所有网格中的粒子求平均，此种方法可以消除平均速度对温度造成的影响.

在模拟过程中，设定了三支Alfvén波，即N=3，定义ω₁,ω₂,ω₃分别为第一到第三支波的频率，第一支Alfvén波频率取ω₁=0.025Ω_p，它远小于质子回旋频率，显然不满足共振加热条件，那么低频Alfvén波将通过非共振加热等离子体.定义第二支波与第一支波的频率比为r₂₁=ω₂/ω₁，第三支波与第一支波的频率比为r₃₁=ω₃/ω₁，以此类推.令φ₁=0,φ₂=π/6,φ₃=π/3为三支波各自的初相位.模拟计算中，假设每支波的波能密度一致，同时满足$\sum\limits_{h=1}^N {B_h^2/B_0^2}=0.18$，以确保波幅超过随机加热阈值.

首先，我们考察不同数量的Alfvén波加热等离子体的效果，包括①考察只存在一支波(即N=1)时的加热情况；②考察存在两支波(即N=2)且两支波频率比为r₂₁=1时的加热情况；③考察同时存在三支波(即N=3)且第二支波与第一支波的频率比r₂₁=1、第三支波与第一支波的频率比r₃₁=1时的加热情况.同时保证在以上各种情况下均满足$\sum\limits_{h=1}^N {B_h^2/B_0^2}=0.18$条件以便比较，即当N=1，取B₁²/B₀²=0.18，当N=2时，取B₁²/B₀²=0.09且B₂²/B₀²=0.09，当N=3时，取B₃²/B₀²=0.06，B₂²/B₀²=0.06 B₁²/B₀²=0.06.质子动力学温度T_k根据式(3)得出，T_k和质子平行于背景磁场方向的平均速度U_‖分别用m_pv_A²/2、 v_A对其进行归一化.以上各种情况下T_k随时间的变化如图 1(a)所示,U_‖随时间变化如图 1(b)所示.

图1(Figure 1)

图1 (a) 波加热的质子动力学温度随时间变化，(b)质子平行于背景磁场方向的平均速度随时间变化 Fig. 1 (a) Time evolution of kinetic temperature of protons，(b) Time evolution of velocity parallel to the background megnetic field

从图 1(a)可以看出，我们的计算结果与Alfvén多支波相干加热的理论描述基本一致^[8].众所周知，两支波的相干共振条件为

符合相干共振的双波能够使质子共振加速获得更大的动能，图 1(a)中的N=3也应符合相干共振加热理论，在相干共振条件中定义V为平行速度的比值V=v_Z/v_A，Ω_p为质子回旋频率，n为整数.在上图曲线N=2模拟加热中，由于冷等离子体V接近于零，双支波波频ω₁-ω₂=0满足相干共振条件.由于多波总振幅超过了随机加热阈值.质子先通过非共振加热使温度上升到一定阶段后，由于非共振在相空间发生重叠而转为随机加热，最终使质子动力学温度增加到相同值m_pv_A²/2后不再变化.离子动力学温度的最大值由外加磁场的能量密度与等离子体的比值决定^{[7, 16]}，也就是T_max≈W/n₀，其中W为外磁场能量密度，n₀为粒子密度.此结果与王斌等人对多支斜向传播的低频Alfvén波随机加热模拟的结论基本一致^[16]，最终等离子体在平行于背景磁场方向获得一个Alfvén波相速度大小的平均速度，关于平行于背景磁场方向流速的结论与王斌等人的低频Alfvén随机加热结论U_‖≈vA也一致^{[7, 16]}.

此外，我们还在模拟中观察了平行于外加磁场方向的粒子进入随机加热前的平均速度，结果表明，当多波频率满足相干共振条件时，质子在平行方向得到更有效加速，强化非共振加热，使得进入随机加热前具有更高的流速.如图 1(b)所示,扰动部分是由于非共振加热初期粒子回旋微小波动造成.在图中显示出，处于非共振阶段，随着波数N的增加，进入随机加热前的U_‖也更高.

为了进一步研究低频相干Alfvén波的非共振加热过程,我们对图 1(a)中对应不同波数N=1， N=2，N=3的非共振加热阶段(频率ω₁=0.025Ω_p，波幅Ω_pt=2 000)三维相空间速度分布进行分析，具体研究质子的波相干共振加热过程中的速度(图 2)随波数增加符合相干共振条件时，X，Y，Z方向相空间的粒子速度分布情况.可以观察到在时刻Ω_pt=2 000，随着波数的增加，粒子在图 2(c)三维相空间速度分布类似环状.图 2(a)及图 2(b)对比于图 2(c)，粒子相对离散，并在V_X-V_Y平面依然存在粒子.显示出N=1,N=2两种情况存在部分粒子在Z方向并未被加速.图 2(c)所有粒子在Z方向均被拾取并随波垂直同步，这表明相干波数的增加能够强化非共振效应.

图2(Figure 2)

图2 质子在(Ωpt=2 000)不同波数在X， Y， Z方向速度相空间分布 Fig. 2 Phase space distributions of proton velocity in X, Y, Z direction (Ωpt=2 000)

出现图 2(c)现象的原因是由于相干波叠加所致，符合一定条件的相干波在叠加中会按照一般物理原理出现波的干涉，根据王传兵等人的理论会形成镜状波场分布^[17],导致在非共振阶段某些区域粒子能量得到强化，进而出现很强的捕获粒子效应，强化对粒子的拾取.为了验证这一点，选取波的频率比值r₂₁=ω₂/ω₁不一致的双支波，如图 3不同情况的双波(r₂₁=1，B₁²/B₀²=0.09，B₂²/B₀²=0.09),(r₂₁=2，B₁²/B₀²=0.12，B₁²/B₀²=0.06),(r₂₁=3，B₁²/B₀²=0.045，B₁²/B₀²=0.135)所示.可以明显观察到，在波能密度维持恒定符合相干共振条件双波加热曲线r₂₁=1的情况下，斜率远高于其它两种情况.这表明了多波相干加热效率的高效，以及频率比对相干共振加热存在影响.

图3(Figure 3)

图3 不同双波频率比的双波加热下质子的动力学温度随时间变化 Fig. 3 Time evolution of kinetic temperature of protons at different frequency ratios

为了研究多波频率比对加热的影响，最后我们选取三支波，定义r₂₁表示ω₂/ω₁，r₃₁表示ω₃/ω₁均为波的频率比，以逐渐减小频率差的方式(r₂₁=1.3 r₃₁=1.5，r₂₁=1.1 r₃₁=1.2，r₂₁=1.01 r₃₁=1.02)来研究波之间的频率差对相干加热的影响.同样，总波能密度为$\sum\limits_{h=1}^N {B_h^2/B_0^2}=0.18$，能够保证三种情况的质子动力学温度最终一致.从图 4中可以看出，随着波之间频率差的逐渐减小，质子动力学温度T_k上升的斜率愈发增大，这说明质子动力学温度的加热效率也是逐渐增长，其质子动力学温度增长过程中存在不均匀扰动是由于多波调制引起.而当Alfvén波数量相同，波频比愈发接近时，则如图 4中r₂₁=1.01 r₃₁=1.02所示，可以观察到三支波加热效率的极大提升.

图4(Figure 4)

图4 三波非均匀分频比下质子的动力学温度 Fig. 4 Time evolution of kinetic temperature of protons at different frequency ratios

为了解释上述情况,对三支波进行z方向相空间粒子模拟，如图 5所示，三种情况下，在Ω_pt=2 000时刻z方向相空间均出现了加速区域，而随着频率差的减小， z方向上的加速区域出现逐渐增大的趋势，并且出现融合，如图 5(c)所示，在三支波频率极为接近时，在z方向上出现了融合后的波包.在r₂₁=1.3 r₃₁=1.5的z方向相空间多区域加速可以看出，多波加热过程中会有调制过程，频率相差较大的多波加热由于相差过大以及混沌，难于调制，形成波包的概率远小于频差较大的三支低频Alfvén波，所以加热效率也远低于频率接近的三波加热.在一定程度上能够解释陆全明关于多波调制频率的结果：调制频随着波数量的增加由多区域分立趋于集中的结论^{[13, 14]}，同时，图 4中r₂₁=1.01 r₃₁=1.02的T_k增长过程中调制扰动的减少也能说明波的频率接近能减小扰动这一点.

图5(Figure 5)

图5 三支波的波频比为非均匀分频比下z向相空间粒子模拟 Fig. 5 Phase space distributions of proton velocity in parallel direction at different frequency ratios

为了进一步观察分数频率比三支波的加热机制，分析了r₂₁=1.01 r₃₁=1.02情况粒子在Ω_pt=2 000时刻粒子三维速度场的分布，虽然质子动力学温度T_k上升趋势与图 1中的N=3类似，但其加热机制与N=3并不相同.如图 6所示，粒子在三维速度场虽然均被拾取，但在分布上呈现出离散状态，这说明在相空间出现混沌，引发随机加热.因此可以得出结论：随着频率比的接近，逐渐融合的Z方向加速区域强化了粒子速度分布的各向异性，引发混沌，导致随机加热.这个结论同样适用于陆全明等人关于当波数增加时，低频Alfvén波由非共振加热阶段进入随机加热阶段阈值将会降低的结果^[13].

图6(Figure 6)

图6 质子在X， Y， Z方向速度相空间分布 Fig. 6 Phase space distribution of proton velocity at X, Y, Z direction

以质子为试探粒子，采用粒子模拟方法考察了多支沿背景方向传播的左旋圆极化低频Alfvén波在不同频率下的加热过程.分析了随着波的频率以及波数量的改变，加热过程中质子速度的空间分布，平行方向流速和动力学温度的变化，并对不同情况进行了比较.得出结论：多支低频Alfvén波相干加热可以通过调整波的频率来实现对非共振加热和随机加热这两个阶段的强化，此结论也理应符合其它类型的波.对多支低频Alfvén波加热过程进行详细讨论，建立了更为清晰的物理图像，对相干加热理论进行验证.尝试对调制频由多区域分立随着波数量增长趋于集中的现象进行粒子模拟与解释.