2016, Vol. 33
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2. Insititute of Energy Science and Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, China
雷诺方程在连续相湍流的数值模拟中被广泛应用，湍流数值模拟的零方程模型、单方程模型、双方程模型、雷诺应力模型、代数应力模型等层出不穷，这些模型都是以平均Navier-Stokes方程为基础，而平均Navier-Stokes方程本身是不封闭的，需要附加各种近似假设和经验公式加以封闭，由于其本身具有无法克服的缺陷，他们的使用范围具有很大的局限性，比较具有代表性的标准 k-ε 模型[1]是以Boussinesq假设为基础，它只对高雷诺数的湍流有效，而且对模拟旋流和绕流也有缺陷.
与连续相雷诺方程类似，离散相雷诺方程也在数值模拟中被广泛采用，其核心思想是在Euler体系中构造方程使统计矩方程封闭，Reeks基于概率密度函数(PDF)框架得到双流体模型方程[2]，利用Chapman-Enskog近似法得到三阶矩方程使模型封闭.Simonin[3]也采用概率密度函数方法推导颗粒的统计矩方程， Minier 和Perano[4]以及Minier和Pozorski[5]由PDF输运方程推导出类似雷诺展开得到的双流体模型，包括两相雷诺应力和湍流动能输运方程，用代数方程对不封闭的方程组加以封闭.van Slooten，Jayesh[6]仿照Rodi方程对雷诺应力方程进行处理，得到了颗粒应力代数方程，与颗粒相的连续方程、动量方程组成封闭的方程组.国内的周力行等人先后提出的 k-ε-kp 模型[7]、统一二阶矩模型[8]、代数应力模型[9]，都采用经验公式或者近似假设，与连续相雷诺方程一样，其适用范围自然受到种种限制。
两相湍流流动的另外一种处理思路是离散相在Lagrange体系下采用颗粒的轨道方法，连续相依然采用雷诺方程数值模拟，这是一种非常重要并被广泛采用的计算方法，Xu和Pope[10]，Li和Modest[11]以及柳朝晖[12]等人都曾采用常规的或者改造的Monte Carlo方法模拟两相湍流流动，Monte Carlo方法已经广泛用于颗粒随机轨道模型中.另外，徐江荣等先后建立了颗粒正应力轨道模型[13]和颗粒两阶矩轨道模型[14].Lagrange方法是求解PDF方程比较精确的方法，而且其封闭相对简单，但是要获得光滑连续的曲线往往需要计算大量颗粒的轨道，其光滑性也不如Euler方法。
两相湍流流动的Euler-Euler方法和Euler-Lagrange方法有各自的优点和局限性，本文试图有效地结合这两种方法，利用Lagrange方法易于封闭的优点，以Lagrange模型为基础推导模型的封闭形式，这与以往的仅在Euler体系中构造模型的思路不同，与以往的统计矩模型相比，新模型具有更为广泛的使用范围和更大的发展潜力，而且本文的研究可以为封闭模型提供一种新思路。
1 两相湍流颗粒二阶矩模型采用PDF方法给出两相湍流颗粒统计矩方程，典型的颗粒PDF输运方程为
| $\frac{{\partial {{\rm{P}}^r}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {U_{pi}}{P^r}}}{{\partial {x_i}}} - \frac{\partial }{{\partial {U_{pi}}}}\left[ {\left( {\frac{{{U_{pi}} - \left\langle {{U_{si}}} \right\rangle }}{{{\tau _p}}}} \right){P^r}} \right] + \frac{{\partial {g_i}{P^r}}}{{\partial {U_{pi}}}} = \frac{\partial }{{\partial {U_{pi}}}}\left[ {{\lambda _{ij}}\frac{{\partial {P^r}}}{{\partial {x_j}}} + {\mu _{ij}}\frac{{\partial {P^r}}}{{\partial {U_{pj}}}}} \right],$ | (1) |
定义颗粒数密度 np=∫P(x,Up,t)dUp， 对PDF输运方程(1)积分可以得到任意阶宏观矩方程，给出连续方程和动量方程
| $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {n_p}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {n_p}\left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial {x_i}}} = 0,\\ \frac{{\partial \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial t}} + \left\langle {{U_{pj}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial {x_j}}} = - \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\left\langle {{U_{si}}} \right\rangle - \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle + {\tau _p}{g_i}}}{{{\tau _p}}} - \left( {\left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle + {\lambda _{ij}}} \right)\frac{1}{{{n_p}}}\frac{{\partial {n_p}}}{{\partial {x_j}}}. \end{array} \right.$ | (2) |
方程组(2)是基于方程式(1)的两阶矩Euler模型，(2)式中第一式是颗粒浓度方程，第二式是颗粒相平均速度方程，它含有不封闭项 〈upiupj〉， 若再由PDF输运方得到二阶矩方程，又将引入新的不封闭项，以往的做法是采用近似假设构造新方程使(2)式封闭,近似假设和经验公式只适用于特定的条件和流场，使模型不具有通用性，它的使用范围和发展空间都受到经验和假设的制约.
2 颗粒二阶矩模型的封闭颗粒运动Langevin方程[16]是PDF输运方程和统计矩模型的共同基础，对Langevin方程组系综平均可以得到平均Langevin方程[17]
| $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{d\left\langle {{x_{pi}}} \right\rangle }}{{dt}} = \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle ,\\ \frac{{d\left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{dt}} = \frac{1}{{{\tau _p}}}\left( {\left\langle {{U_{si}}} \right\rangle - \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle } \right) + {g_i},\\ \frac{{d\left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{dt}} = \frac{2}{{{\tau _p}}}\left( {\frac{{{\mu _{ij}} + {\mu _{ji}}}}{2} - \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle } \right). \end{array} \right.$ | (4) |
文[17]还从另外一种思路得到与之完全相同的结果,并利用方程组(4)对气固两相流场进行数值模拟,取得了理想的结果，方程组(4)在理论上和实践中都被证明是可靠的.对方程组(4)继续变形得到
| $\frac{{d\left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{dt}} = \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial t}} + \left\langle {{U_{pk}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial {x_k}}} = \frac{2}{{{\tau _p}}}\left( {\frac{{{\mu _{ij}} + {\mu _{ji}}}}{2} - \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle } \right).$ | (5) |
方程式(5)只含有颗粒平均速度和二阶矩，没有其它不封闭量出现, 结合方程组(2)得到封闭的二阶矩模型
| $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial {n_p}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {n_p}\left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial {x_i}}} = 0,\\ \frac{{\partial \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial {\rm{t}}}} + \left\langle {{U_{pj}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle }}{{\partial {x_j}}} = - \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\left\langle {{U_{si}}} \right\rangle - \left\langle {{U_{pi}}} \right\rangle + {\tau _p}{g_i}}}{{{\tau _p}}} - \left( {\left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle + {\lambda _{ij}}} \right)\frac{1}{{{n_p}}}\frac{{\partial {n_p}}}{{\partial {x_j}}},\\ \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial t}} + \left\langle {{U_{pk}}} \right\rangle \frac{{\partial \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle }}{{\partial {x_k}}} = \frac{2}{{{\tau _p}}}\left( {\frac{{{\mu _{ij}} + {\mu _{ji}}}}{2} - \left\langle {{u_{pi}}{u_{pj}}} \right\rangle } \right). \end{array} \right.$ | (6) |
以(5)式对不封闭的统计矩方程(2)加以封闭，推导过程是严格的,没有采用经验或半经验公式.方程的推导基于Lagrange模型，这一点与以往的在Euler体系中寻求封闭模型的思路不同.
3 两相壁面射流流场[8]的数值模拟两相壁面射流是一个典型的两相湍流流动[18]，其流场特征参数见表1，计算区域见图1.本文采用混合二阶矩模型(Hybrid Second-order Moment Model，HSM)和有限分析/颗粒方法(Finite Analytic/Monte Carlo，FA/MC)[11]计算，连续相的计算采用标准 k-ε 模型，求解方法采用SIMPLE算法，计算网格数为175×100。
| 表1 流场特征参数 Table 1 Character of the cas |
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| 图1 壁面射流几何尺寸 Fig. 1 Geometry of wall jet test case |
图2为颗粒平均速度的计算结果与实验值的比较.计算结果十分理想，由图可知，HSM模型的计算结果与实验值更加符合，并且比FA/MC方法的计算结果更为光滑，HSM模型优于FA/MC方法。
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| 图2 颗粒平均速度的计算值与实验值 Fig. 2 Profiles of particle mean vertical velocities |
图3是颗粒脉动速度的对比分析，两种方法的颗粒脉动速度与实验值基本符合，HSM模型的计算结果更接近实验值，而且HSM模型依然可以获得更为光滑的计算结果。
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| 图3 颗粒脉动速度计算值与实验值 Fig. 3 Profiles of particle fluctuating vertical velocities |
图4给出了颗粒浓度的计算结果，与FA/MC方法相比，HSM模型的计算结果有所改善，新模型更加光滑的特点进一步得到体现，但在计算精度上仍然有一定的提升空间.
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| 图4 颗粒浓度的计算值与实验值 Fig. 4 Profiles of particle volumetric fraction |
用Lagrange方法封闭的统计矩模型给出的混合二阶矩模型，不需附加其它近似假设，该方法具有更为广泛的使用潜力，可以为模型的不封闭问题提供新思路.根据对两相壁面射流流场的计算可知，新模型的计算结果整体优于有限分析/颗粒方法，计算结果更加准确合理，而且曲线更为光滑。
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