0 引言

传输线在高速互连系统中，是一种简单的电气结构，它主要负责各个电气组件之间的连接和通信.随着集成电路的集成度越来越高，电路特征尺寸的减少，以及片内工作频率的进一步增大，互连线所引起的耦合串扰、时延等问题更加严重^[1].因此在高速互连系统中，互连线不能仅被看作连接线，而是应该被看作具有分布参数的传输线.

近年来，对传输线的研究已经广泛开展.对于理想的传输线模型，可以通过传统时域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD)进行分析^[2-3]，然而在剖分尺寸较小的情况下，该方法由于稳定条件的约束导致计算效率较低.因此采用改进FDTD的方法，如ADI-FDTD方法进行研究^[4].在实际的高速互连系统中，传输线的参数随着其位置或频率的变化而变化，大大增加了分析的难度，为此研究人员使用FDTD对非均匀传输线进行瞬态分析^[5]，使用时间步积分法对频变传输线进行研究^[6].近些年，加权拉盖尔多项式-时域有限差分(Weighted Laguerre Polynomials-Finite Difference Time Domain, WLP-FDTD)方法在平行板波导^[7]和芯片与封装的多尺度分析上^[8]得到很好的应用.

本文采用WLP-FDTD方法对高速互连电路中非均匀传输线的等效电路进行分析，针对FDTD法在传输线分析中存在稳定约束条件下计算效率较低的问题，通过加权拉盖尔多项式的正交性实现了对时间变量和空间变量的分离，解决了由于剖分尺寸较小降低分析效率的问题，实验仿真结果表明在传输线的瞬态分析中，采用WLP-FDTD方法比传统方法FDTD效率更高.在WLP-FDTD的多根耦合传输线瞬态分析的基础上^[9]，采用Matlab的GUI界面，实现了对多根非均匀传输线进行瞬态分析.

1 传输线电路模型

具有一定长度的两条导线就组成了传输线，它是一种简单的电路元件，使信号从传输线一端传输到另一端.对于传输线，可以使用经典电路模型进行等效.

图 1为单位长度传输线的等效电路模型，对于整个传输线而言，就是多个等效电路模型的叠加。在非均匀耦合传输线的电路模型中，其等效电阻、电容、电感和电导随着位移变化而变化.因此引入随位移变化的变量k(x)，在单位长度的等效电路中有

$ F\left( x \right)=\Delta xk\left( x \right)F, F=R, L, C, G, $

(1)

其中R、L、C、G为单位长度传输线上的等效电阻、电感、电容和电导，对于均匀传输线模型k(x)=1，本文以非均匀传输线为例.

在CMOS门电路中，驱动非均匀传输线的等效电路模型如图 2所示.其中V_s为CMOS门电路中的驱动源，简化成电压源V_s和线性电阻R_s串联，中间为传输线，可以等效为RLCG模型，负载门电路等效为电容C_L.

对图 2的电路模型，根据传输线的电报方程有

$ \frac{\partial V\left( x, t \right)}{\partial x}+L\left( x \right)\frac{\partial L\left( x, t \right)}{\partial t}+R\left( x \right)I\left( x, t \right)={{V}_{\text{F}}}\left( x, t \right), $

(2)

$ \frac{\partial I\left( x, t \right)}{\partial x}+C\left( x \right)\frac{\partial V\left( x, t \right)}{\partial t}+G\left( x \right)V\left( x, t \right)={{I}_{\text{F}}}\left( x, t \right), $

(3)

其中V(x, t)和I(x, t)是位移x和时间t的函数，代表在位移x，时间t时的电压和电流.R(x), L(x), C(x), G(x)分别是在位移x处传输线的单位分布参数电阻，电感，电容和电导，它们均是与位移x相关的函数.V_F(x, t), I_F(x, t)分别是在位移x的输入电压，电流激励.

2 理论分析 2.1 加权拉盖尔多项式

加权拉盖尔多项式(Weighted Laguerre Polynomial, WLP)是基于拉盖尔多项式的一组基函数，通过该基函数的正交性，可以分离空间和时间变量，避免了由于剖分时间较小而增加的迭代次数，显著提高了计算效率.拉盖尔方程的微分形式方程

$ xy''+\left( 1-x \right)y'+ny=0. $

(4)

该微分方程的解为

$ L_{p}^{\alpha }\left( t \right)=\frac{1}{p!}{{\text{e}}^{t}}{{t}^{-\alpha }}\frac{{{\text{d}}^{n}}}{\text{d}{{t}^{n}}}\left( {{\text{e}}^{-t}}{{t}^{p+\alpha }} \right), $

(5)

式(5)即为拉盖尔多项式的微分形式.一般情况下，令α=0，

$ {{L}_{p}}\left( t \right)=\frac{{{\text{e}}^{t}}}{p!}\frac{{{\text{d}}^{p}}}{\text{d}{{t}^{p}}}\left( {{\text{e}}^{-t}}{{t}^{p}} \right), p>0, t>0. $

(6)

由于单独的拉盖尔多项式并不具备正交性，一组具有正交性的基函数，会大大减少计算量.根据拉盖尔多项式如下性质

$ \int_{0}^{\infty }{{{\text{e}}^{-t}}}{{L}_{p}}\left( t \right){{L}_{q}}\left( t \right)=\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 1, \\ 0, \\ \end{matrix}&\begin{matrix} p=q; \\ p\ne q. \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right. $

(7)

令拉盖尔基函数φ_p(t)为

$ {{\varphi }_{p}}\left( t \right)={{\varphi }_{p}}\left( \overline{t}, s \right)={{\text{e}}^{-s\overline{t}/2}}{{L}_{p}}\left( s\overline{t} \right), $

(8)

其中t为时间尺度，s为时间尺度因子.当t趋近∞时，φ_p(t)会趋近于0，因此由这一组基函数组成的函数表达式均是稳定的.

2.2 等效电路模型分析

根据加权拉盖尔多项式，V(x, t)和I(x, t)可以表示为

$ V\left( x, t \right)=\sum\limits_{p=0}^{m-1}{{{V}^{p}}\left( x \right)}{{\varphi }_{p}}\left( t \right), $

(9)

$ I\left( x, t \right)=\sum\limits_{p=0}^{m-1}{{{I}^{p}}\left( x \right)}{{\varphi }_{p}}\left( t \right), $

(10)

$ {{\varphi }_{p}}\left( t \right)={{\text{e}}^{-\overline{t}/2}}{{L}_{p}}\left( t \right), $

(11)

$ t=s\overline{t}, $

(12)

其中m是加权拉盖尔多项式的项数.L_p(t)是p阶拉盖尔多项式，V^p(x)和I^p(x)是对应基函数的系数.当实际时间很小的时候，可以通过改变尺度变换因子来调整时间尺度，便于计算和分析.

在式(9)和(10)中，V(x, t)和I(x, t)对时间t的一阶导数为

$ \frac{\partial V\left( x, t \right)}{\partial t}+s\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\left[0.5{{V}^{p}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, p>0}^{p-1}{{{V}^{k}}\left( x \right)} \right]}{{\varphi }_{p}}\left( t \right), $

(13)

$ \frac{\partial I\left( x, t \right)}{\partial t}+s\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\left[0.5{{I}^{p}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, p>0}^{p-1}{{{I}^{k}}\left( x \right)} \right]}{{\varphi }_{p}}\left( t \right). $

(14)

V(x, t)和I(x, t)对位移x的一阶导数为

$ \frac{\partial V\left( x, t \right)}{\partial x}=\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\frac{\partial {{V}^{p}}\left( x \right)}{\partial x}}{{\varphi }_{p}}\left( t \right), $

(15)

$ \frac{\partial I\left( x, t \right)}{\partial x}=\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\frac{\partial {{I}^{p}}\left( x \right)}{\partial x}}{{\varphi }_{p}}\left( t \right). $

(16)

将式(13)-(16)代入(2)和(3)中，可以得到

$ \ \begin{matrix} sL\left( x \right)\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\left( 0.5{{I}^{p}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, p>0}^{p-1}{{{I}^{k}}\left( x \right)} \right){{\varphi }_{p}}\left( t \right)+} \\ \sum\limits_{p=0}^{m-1}{\frac{\partial {{V}^{p}}\left( x \right)}{\partial x}}{{\varphi }_{p}}\left( t \right)+R\left( x \right)\sum\limits_{p=0}^{m-1}{{{I}^{p}}\left( x \right){{\varphi }_{p}}\left( t \right)}={{V}_{\text{F}}}\left( x, t \right), \\ \end{matrix} $

(17)

$ \begin{matrix} sC\left( x \right)\sum\limits_{p=0}^{m-1}{\left( 0.5{{V}^{p}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, p>0}^{p-1}{{{V}^{k}}\left( x \right)} \right){{\varphi }_{p}}\left( t \right)+} \\ \sum\limits_{p=0}^{m-1}{\frac{\partial {{I}^{p}}\left( x \right)}{\partial x}}{{\varphi }_{p}}\left( t \right)+G\left( x \right)\sum\limits_{p=0}^{m-1}{{{V}^{p}}\left( x \right){{\varphi }_{p}}\left( t \right)}={{I}_{\text{F}}}\left( x, t \right). \\ \end{matrix} $

(18)

根据加权拉盖尔多项式的正交性，可以消除独立的时间项φ_p(t).在方程(17)、(18)的两边乘以φ_q(t)，然后在时间t=[0, T_f)上积分，T_f为时间周期.当p≠q的积分项为0，只保留p=q的项，可以得到

$ \ sL\left( x \right)\left[0.5{{I}^{q}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{{{I}^{k}}\left( x \right)} \right]+\frac{\partial {{V}^{q}}\left( x \right)}{\partial x}R\left( x \right){{I}^{q}}\left( x \right)=J_{V}^{q}\left( x \right), $

(19)

$ sC\left( x \right)\left[0.5{{V}^{q}}\left( x \right)+\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{{{V}^{k}}\left( x \right)} \right]+\frac{\partial {{I}^{q}}\left( x \right)}{\partial x}R\left( x \right){{V}^{q}}\left( x \right)=J_{I}^{q}\left( x \right), $

(20)

其中

$ J_{V}^{q}\left( x \right)=\int_{0}^{{{T}_{\text{f}}}}{{{V}_{\text{F}}}\left( x, t \right){{\varphi }^{q}}\left( \overline{t} \right)}\text{d}\left( \overline{t} \right), $

(21)

$ J_{I}^{q}\left( x \right)=\int_{0}^{{{T}_{\text{f}}}}{{{I}_{\text{F}}}\left( x, t \right){{\varphi }^{q}}\left( \overline{t} \right)}\text{d}\left( \overline{t} \right). $

(22)

传输线的长度为h，把它分成n部分，每部分的长度为Δx.每部分离散点的电压V₁, V₂, V₃, …, V_n+1和电流I₁, I₂, I₃, …, I_n可以记作

$ \ {{V}_{j}}=V\left[\left( j-1 \right)\Delta x \right], $

(23)

$ {{I}_{j}}=I\left[\left( j-\frac{1}{2} \right)\Delta x \right], $

(24)

其中，j=1, 2, …, n+1.将R(x), L(x), C(x), G(x)记作

$ F\left( j \right)=F\left( j\Delta x \right), F=R, L, C, G;j=1, 2, \cdots n. $

(25)

对式(19)和(20)进行空间差分

$ \begin{matrix} I_{j}^{q}+\frac{2}{\left[sL\left( j \right)+2R\left( j \right) \right]\Delta x}V_{j+1}^{q}-\frac{2}{\left[sL\left( j \right)+2R\left( j \right) \right]\Delta x}V_{j}^{q}= \\ \begin{matrix} \frac{2}{sL\left( j \right)+2R\left( j \right)}J_{V/j}^{q}-\frac{2sL\left( j \right)}{sL\left( j \right)+2R\left( j \right)}\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{I_{j}^{k}, } \\ j=1, 2, \cdots, n. \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} $

(26)

$ \begin{matrix} V_{j}^{q}+\frac{2}{\left[sC\left( j \right)+2G\left( j \right) \right]\Delta x}I_{j-1}^{q}-\frac{2}{\left[sC\left( j \right)+2G\left( j \right) \right]\Delta x}I_{j}^{q}= \\ \begin{matrix} \frac{2}{sC\left( j \right)+2G\left( j \right)}J_{I/j}^{q}-\frac{2sC\left( j \right)}{sC\left( j \right)+2G\left( j \right)}\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{V_{j}^{k}, } \\ j=2, 3, \cdots, n. \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} $

(27)

将式(27)代入(26)

$ \begin{matrix} -P\left( j \right)Q\left( j \right)I_{j-1}^{q}+\left\{ 1-P\left( j \right)\left[Q\left( j+1 \right)+Q\left( j \right) \right] \right\}I_{j}^{q}+P\left( j \right)Q\left( j+1 \right)I_{j+1}^{q} \\ -sL\left( j \right)P\left( j \right)\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{I_{j}^{k}}+P\left( j \right)Q\left( j \right)J_{I/j}^{q}-sC\left( j \right)P\left( j \right)Q\left( j \right)\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{V_{j}^{k}}+ \\ P\left( j \right)J_{V/j}^{q}-P\left( j \right)Q\left( j+1 \right)J_{I/j+1}^{q}+sC\left( j+1 \right)P\left( j \right)Q\left( j+1 \right)\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{V_{j+1}^{k}}, \\ \end{matrix} $

(28)

其中j=2, 3, …, n，变量P(j)，Q(j)为

$ P\left( j \right)\text{=}\frac{2}{\left[sL\left( j \right)+2R\left( j \right) \right]\Delta x} $

(29)

$ Q\left( j \right)\text{=}\frac{2}{\left[sC\left( j \right)+2G\left( j \right) \right]\Delta x}. $

(30)

2.3 边界条件

由图 2来计算边界条件.根据诺顿等效，将左边界的电压源和电阻串联，等效为电流源和电阻并联.

当x=0时，在左边界处存在电流源和电阻(电阻应转化为单位电阻进行计算).所以对于左边界，即在j=1时可得

$ {{I}_{\text{F}}}={{V}_{\text{S}}}/\left( {{R}_{\text{s}}}\Delta x \right), $

(31)

$ {{V}_{\text{F}}}=0. $

(32)

在传输线中，即0 < x < h时，没有外部的激励电压和电流，所以当j=2, 3, 4, …, n时

$ J_{V/j}^{q}={{V}_{\text{F}}}=0, $

(33)

$ J_{I/j}^{q}={{I}_{\text{F}}}=0. $

(34)

在x=h时，即在传输线右端处(j=n+1)有

$ {{C}_{\text{L}}}\frac{\partial V\left( h, t \right)}{\partial t}-I\left( h, t \right)=0. $

(35)

对于式(35)，采用WLP-FDTD方法推导，可以得到

$ V_{n+1}^{q}-\frac{2}{{{C}_{\text{L}}}}I_{n+1}^{q}=-2\sum\limits_{k=0, q>0}^{q-1}{V_{n+1}^{k}}. $

(36)

2.3 矩阵求解

在求解方程组中，未知数个数较多，因此通过计算机使用矩阵求逆的方法进行求解.采用AX=B的形式，其中X为各点的电流组成的矩阵，X=[I₁^q, I₂^q, …, I_n^q]^T，A为电流的系数矩阵，B为相应的结果矩阵.为避免对系数矩阵A求逆造成的时间损耗，通过对A进行LU分解进而求解X，即

$ X={{\left( LU \right)}^{-1}}B={{U}^{-1}}{{L}^{-1}}B. $

(37)

根据式(28)和边界条件(31)-(36)，可以得到矩阵A和B，通过矩阵求逆求出当q=0时的解X，即I₁⁰, I₂⁰, …, I_n⁰，代入(27)式既得V₁⁰, V₂⁰, …, V_n+1⁰.然后通过对q进行迭代，重复上述步骤，就可以得到I₁^q, I₂^q, …, I_n^q和V₁^q, V₂^q, …, V_n+1^q，最后根据(9)和(10)可以得到该传输线的瞬态响应.

3 仿真及应用 3.1 单根传输线仿真

对于CMOS门电路驱动单根非均匀传输线的情况，选取长度为h=5 mm的传输线进行分析.非均匀传输线的RLCG参数分别为：R(x)=7/(1+k(x)) mΩ·μm^-1，L(x)=0.9/(1+k(x)) pH·μm^-1，C(x)=350/(1-k(x)) aF·μm^-1，G(x)=0 s·μm^-1，其中k(x)=0.25[1+sin (6.25πx+0.25π)].选取一个频率为200 MHz，占空比为50%，幅值为1 V的周期方波作为激励信号，其中上升沿和下降沿均为50 ps.电压源内阻R_s=100 Ω，负载电容C_L=50 fF.依据t=0时误差最小的原则选取150个加权拉盖尔多项式，s=10¹¹.

由于信号在传输线中传输速率为v_m=5.495 7×107 m·s^-1.由于FDTD的稳定约束条件，需要为在截止频率1/τπ下波长的十分之一，因此Δx=0.5 mm.分别通过FDTD，SPICE，WLP-FDTD方法得到的瞬态响应如图 3所示.从图中可以看出结果吻合较好，此外WLP-FDTD、FDTD、SPICE运行的时间分别为0.018 s, 0.06 s和0.59 s.对于不同的Δx所运行时间如表 1所示，从表中可以看出WLP-FDTD的效率最高.

3.2 多根传输线仿真

在3.1节的实例中，是对单根非均匀传输线进行分析，如果需要对多根传输线进行研究，将电报方程中的电路参数变成矩阵的形式，采用相同的方法进行求解^[9].以两根非均匀耦合传输线为例，分别使用SPICE, FDTD, WLP-FDTD进行仿真分析.

如图 4所示，其中有电源的一根传输线为激励线，另外一根为受害线.激励为200 MHz，幅值为1V的周期电压源，其占空比为50%，上升和下降时延均为10 ps.每根线的源电阻为R_s=200 Ω，负载电容为C_L=50 fF.其传输线的R(x)、L(x)、G(x)、C(x)参数如下

$ \mathit{\boldsymbol{R}}\left( x \right)=\frac{1}{1+k\left( x \right)}\left[\begin{matrix} 7&0 \\ 0&7 \\ \end{matrix} \right]\rm{m}\Omega \cdot \rm{ }\!\!\mu\!\!\rm{ }{{\rm{m}}^{-1}}, $

$ \mathrm{L}\left( x \right)=\frac{1}{1+k\left( x \right)}\left[\begin{matrix} 0.9&0.54 \\ 0.54&0.9 \\ \end{matrix} \right]\text{pH}\cdot \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }{{\text{m}}^{-1}}, $

$ \mathit{\boldsymbol{C}}\left( x \right)=\frac{1}{1-k\left( x \right)}\left[\begin{matrix} 350 &-30 \\ -30&350 \\ \end{matrix} \right]\rm{aF}\cdot \rm{ }\!\!\mu\!\!\rm{ }{{\rm{m}}^{-1}}, $

$ \mathit{\boldsymbol{G}}\left( x \right)=\frac{1}{1-k\left( x \right)}\left[\begin{matrix} 0&0 \\ 0&0 \\ \end{matrix} \right]\rm{s}\cdot \rm{ }\!\!\mu\!\!\rm{ }{{\rm{m}}^{-1}}, $

其中k(x)=0.25×[1+sin (6.25πx+0.25π)].为了使得拉盖尔多项式的误差最小，使m=150，s=10¹¹.

此两根传输线在奇模下传播速度分别为v_m1=4.452 1×10⁷ m·s^-1和v_m2=2.425 8×10⁷ m·s^-1.在截止频率1/τπ处，为了满足单位元胞是波长的1/10，因此选取较小的传播速度.FDTD空间步长为Δx=7.6×10^-5 s，时间步长取为Δt=1×10^-12 s运算公式如下

$ \begin{matrix} \vartriangle x=\frac{1}{10}\lambda =\frac{1}{10}\frac{{{v}_{m\text{2}}}}{f}=\frac{1}{10}\frac{{{v}_{m2}}}{1/\left( \tau \pi \right)}= \\ \frac{1}{10}\times 2.42\times {{10}^{7}}\times 3.14\times 10\times {{10}^{-12}}=7.6\times {{10}^{-5}}, \\ \Delta t\le \frac{\Delta x}{{{v}_{m1}}}=\frac{7.6\times {{10}^{-5}}}{4.452\times {{10}^{7}}}\approx 1.7\times {{10}^{-12}}. \\ \end{matrix} $

在相同空间步长下，得到每段传输线的RLCG参数，通过SPICE进行仿真.通过Matlab代码分别实现FDTD和WLP-FDTD，与仿真软件SPICE进行对比，结果如图 5、6所示.

从图 5、6中可以看出，算法WLP-FDTD和FDTD、SPICE的结果精度良好.此外WLP-FDTD运行的时间与另外两种方式相比也有很大的提高，分别是：0.041 s (WLP-FDTD), 7.539 5 s (FDTD)和4.54 s (SPICE).因此在相同精度的结果下，WLP-FDTD比FDTD、SPICE更快.

3.2 GUI

采用Matlab内置的图形(GUI)模块，设计了一个可以分析多根传输线的软件界面，如图 7所示.该软件通过简单的视图化窗口输入传输线的参数，可以运行FDTD方法和WLP-FDTD方法，并提供SPICE所需的传输线文件.运行后在窗口显示输出的结果，方便使用和观察.如图 7(a)所示，可以直接在该软件界面左上角输入需要仿真的基本参数(例如传输线的根数，电压源的基本参数等)，右上角输入具体传输线RLGC参数或通过直接读入含有RLCG参数的文本, 设置变化参数k(x).右下角是选择运行不同的方法，左下角为输出结果窗口，可以显示分析所用时间.其中GUI具有如下功能：①方便使用，可以只修改其中某一个参数去研究瞬态响应的变化；②便于观察，如果参数有遗漏或者出错，均可以报错，可以直接选择对任意一根传输线的末端瞬态响应进行分析和观察，如图 7(b)所示.

4 总结

使用WLP-FDTD方法求解高速互连电路中传输线的瞬态响应，该方法直接对传输线的等效电路进行分析，分离了时间和空间变量，解决了传统FDTD方法存在稳定约束条件的问题，提高了分析效率.仿真结果表明，在传输线的分析中，与传统FDTD方法相比，WLP-FDTD方法稳定性好，在减小剖分尺寸时仍然可以保持较高效率.最后采用Matlab的GUI设计了多根传输线的瞬态响应软件，仿真结果表明基于WLP-FDTD的传输线分析方法具有精度高和效率高的优点.